Sinopsis

Este libro está concebido como una guía imprescindible para la asignatura Cálculo en varias variables (Cálculo II) para los cursos de grado en Ingeniería Civil y Territorial de la UPM. No obstante, también puede ser utilizado por cualquier lector que esté buscando ejercicios resueltos sobre:

Integrales en dos y tres variables.
Parametrizaciones de curvas, integrales de línea y circulación de campos vectoriales.
Parametrización de superficies y flujo de campos vectoriales.
Resolución de ecuaciones diferenciales básicas.
Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.


Se ha tenido en cuenta que para la mayoría de los estudiantes el lenguaje matemático resulta muy pesado; existen libros de cálculo muy buenos, pero ininteligibles si no se está acostumbrado al formalismo de las matemáticas. Por ello, aquí la materia se intenta introducir desde la resolución de ejercicios. Por ello, se exponen problemas de cálculo y se resuelven con detalle.

Para una mayor ilustración se han incluido muchas imágenes, además de recursos diseñados con GeoGebra a los que se puede acceder mediante códigos QR. Estos códigos permiten acceder a recursos pedagógicos adicionales como, por ejemplo, actividades, vídeos, gráficos y contenidos teóricos que ayudarán a los estudiantes a ampliar sus conocimientos en las materias de Cálculo y Ecuaciones diferenciales.

Los teoremas clásicos del Cálculo Integral (Fubini-Tonelli, Green, Gauss y Stokes) están incluidos en el temario, enunciados con rigor, pero sin entrar en demasiados detalles. El objetivo es que sean herramientas eficaces para la integración.

Autor: Luis Maire Martín es profesor del Departamento de Matemática e Informática Aplicadas a las Ingenierías Civil y Naval en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la UPM.

Índice

I INTEGRACIÓN EN VARIAS VARIABLES

1. Integrales dobles
1.1. Subconjuntos en el plano
1.2. Coordenadas en el plano
1.3. Integrales dobles en rectángulos
1.4. Integración sobre conjuntos más generales
1.5. Integración en coordenadas polares
2. Integrales triples
2.1. Solidos en R3
2.2. Integración de funciones de tres variables
2.3. Cambios de variable en R3
3. Aplicaciones de las integrales múltiples
3.1. Cálculo de áreas y volúmenes
3.2. Masa de un cuerpo
3.3. Valor medio de una función
3.4. Centros de masa
3.5. Momentos de inercia

II. CÁLCULO VECTORIAL

4. Operadores diferenciales
4.1. Gradiente
4.2. Rotacional
4.3. Divergencia
4.4. Laplaciano
5. Integrales de línea
5.1. Curvas paramétricas
5.2. Integración de campos escalares sobre curvas
5.3. Integración de campos vectoriales sobre curvas
5.4. Campos vectoriales conservativos
5.5. El teorema de Green
6. Integrales de superficie
6.1. Parametrización de superficies
6.2. Integración de campos escalares
6.3. Flujo de un campo vectorial
6.4. El teorema de la divergencia
6.5. El teorema de Stokes

III. ECUACIONES DIFERENCIALES

7. Introducción a las EDO
7.1. Definiciones básicas
7.2. El problema inverso
8. EDO de primer orden
8.1. EDO de variables separadas
8.2. Ecuaciones homogéneas
8.3. Ecuaciones exactas. Factores integrantes
8.4. Ecuaciones lineales de primer orden
9. Aplicaciones de las EDO de primer orden
9.1. Cálculo de trayectorias ortogonales
9.2. Otros problemas geométricos
10. Ecuaciones lineales de orden n
10.1. EDO lineales homogéneas
10.2. EDO lineales completas
11. Sistemas de EDO lineales
11.1. Método de reducción
11.2. Método matricial