Sinopsis

Este libro se ha concebido como texto base para una introducción al estudio del cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables reales. Su contenido incluye los temas fundamentales sobre convergencia y continuidad de funciones de varias variables, cálculo diferencial multivariable, cálculo integral múltiple, propios de los programas habituales de un segundo semestre de cálculo de las carreras universitarias científicas y técnicas.

Los contenidos del texto se presentan en siete capítulos o temas, siguiendo el orden de desarrollo usual de la materia: Funciones entre espacios euclídeos, límites de funciones entre espacios euclídeos, continuidad de funciones entre espacios euclídeos, derivadas parciales y diferencial de funciones de varias variables, aplicaciones de las derivadas parciales, integrales dobles, e integrales triples.

Por otra parte, con el fin de completar y afianzar los conocimientos del lector, cada capítulo va acompañado de una variada colección de ejercicios con diferentes niveles de dificultad.

Índice

1. Funciones entre espacios euclídeos.
1.1. El espacio vectorial Rn.
1.2. El espacio vectorial euclídeo Rn.
1.3. El espacio euclídeo ampliado.
1.4. Intervalos y bolas en Rn.
1.5. Funciones entre espacios euclídeos: Generalidades.
1.6. Clasificación de las funciones entre espacios euclídeos.
1.7. Operaciones con funciones.
1.8. Función compuesta.
1.9. Función recíproca.
Ejercicios.

2. Límites de funciones entre espacios euclídeos.
2.1. Límite de una función entre espacios euclídeos.
2.2. Límites infinitos de funciones escalares de varias variables.
2.3. Propiedades de los límites de funciones escalares de varias variables.
2.4. Límites reiterados de funciones escalares de varias variables.
2.5. Límites según una trayectoria de funciones escalares de varias variables
Ejercicios.

3. Continuidad de funciones entre espacios euclídeos.
3.1. Continuidad de una función entre espacios euclídeos.
3.2. Propiedades de las funciones escalares de varias variables continuas.
3.3. Oscilación de una función escalar de varias variables en un punto.
3.4. Clasificación de las discontinuidades de una función escalar de varias variables.
3.5. Teoremas sobre funciones escalares de varias variables continuas en un conjunto.
3.6. Continuidad uniforme de funciones escalares de varias variables.
Ejercicios.


4. Derivadas parciales y diferencial de funciones de varias variables.
4.1. Derivadas parciales.
4.2. Derivadas según un vector. Derivadas direccionales
4.3. Diferencial de una función de varias variables.
4.4. Vector gradiente de una función escalar
4.5. Teorema del valor medio.
4.6. Diferenciabilidad de la función compuesta.
4.7. Existencia y regularidad de la función implícita.
4.8. Derivadas parciales sucesivas o de orden superior.
4.9. Diferenciales de orden superior de funciones de varias variables.
Ejercicios.

5. Aplicaciones de las derivadas parciales.
5.1. Aproximación local de Taylor para funciones de varias variables.
5.2. Cálculo de máximos y mínimos relativos de funciones de varias variables.
5.3. Cálculo de máximos y mínimos relativos condicionados de funciones de varias variables.
Ejercicios.

6. Integrales dobles.
6.1. Integral doble según Riemann en un intervalo de R2.
6.2. Integral doble según Riemann en una región acotada de R2.
6.3. Propiedades de la integral doble.
6.4. Cálculo de integrales dobles.
6.5. Cambio de variable en la integral doble.
6.6. Teorema integral del valor medio para integrales dobles.
6.7. Aplicaciones geométricas de la integral doble.
Ejercicios.

7. Integrales triples.
7.1. Integral triple según Riemann en un intervalo de R3.
7.2. Integral triple según Riemann en un cuerpo acotado de R3.
7.3. Propiedades de la integral triple.
7.4. Cálculo de integrales triples.
7.5. Cambio de variable en la integral triple.
7.6. Teorema integral del valor medio para integrales triples.
7.7. Aplicaciones geométricas de la integral triple al cálculo de volúmenes.
Ejercicios.

Glosario.
Bibliografía.