Sinopsis

La Geometría Proyectiva es el modelo idóneo para representar el paso del mundo real tridimensional al bidimensional de la imágenes planas que encontramos en cualquier pantalla o dispositivo móvil. Este libro contiene una introducción a los conceptos de la Geometría Proyectiva presentes en el campo de la Visión Artificial o Visión por Ordenador, a través de ejemplos prácticos desarrollados paso a paso con el software matemático libre Octave.
El texto comienza describiendo los distintos tipos de transformaciones homogéneas del plano y del espacio para centrarse en las proyecciones en perspectiva, que constituyen una de las partes fundamentales delmodelo de cámara que rige el paso del espacio 3D al 2D. Se estudia cómo conceptos proyectivos como las homografías, los puntos de fuga o la cónica del infinito, se utilizan en aplicaciones gráficas como la rectificación de imágenes, la construcción de panorámicas o la calibración de cámaras.
Además, se aborda el problema de la reconstrucción tridimensional a partir de dos vistas, aplicando la geometría epipolar para recuperar los modelos presentes en una escena a partir de dos imágenes reales.

Índice

1 Introducción
2 GNU Octave
2.1 Octave GUI (Graphical User Interface)
2.2 Funciones elementales
2.3 Vectores
2.4 Matrices
2.5 Strings
2.6 El lenguaje de programaci´on de Octave
2.7 Creación de archivos .m .
2.8 Funciones
2.9 Gráficas
2.9.1 El comando plot
2.9.2 Posibilidades de la ventana gráfica
2.9.3 El comando plot3
2.9.4 El comando mesh
2.9.5 El comando frame
2.9.6 Curvas y superficies parametrizadas
2.10 Uso de imágenes en Octave
3 Transformaciones homogéneas
3.1 Vectores
3.1.1 Operaciones con vectores
3.1.2 Aplicaciones
3.1.3 Orientación de superficies
3.2 Transformaciones homogéneas 2D
3.2.1 Coordenadas homogéneas
3.2.2 La jerarquía de transformaciones en el plano
3.3 Transformaciones homogéneas 3D
3.3.1 La jerarquía de transformaciones en el espacio
3.3.2 Cuaterniones
3.4 Proyecciones
3.4.1 Proyecciones Paralelas
3.4.2 Proyecciones en Perspectiva
3.4.3 La posición estándar. Ecuaciones del Modelo de Cámara
3.5 Problemas
4 Geometría en espacios proyectivos
4.1 La recta proyectiva P1
4.1.1 La razón doble
4.2 El plano proyectivo P2
4.2.1 Puntos y Rectas
4.2.2 Los puntos circulares
4.2.3 Geometría en P2
4.2.4 Dualidad
4.3 El espacio proyectivo P3
4.3.1 Puntos y planos
4.3.2 Dualidad
4.3.3 Rectas y coordenadas de Plücker
4.4 Espacios proyectivos generales
4.4.1 Sistemas de referencia proyectiva y coordenadas homogéneas
4.5 Problemas
5 Geometríia de una vista
5.1 El modelo de cámara
5.1.1 Matriz de cámara
5.1.2 Rotación y traslación de la cámara
5.2 Elementos de la cámara
5.2.1 Rayos
5.2.2 Centro de la cámara
5.2.3 Plano principal
5.2.4 Punto principal
5.2.5 Proyección de los puntos del infinito
5.2.6 Rayo Principal
5.3 Proyección de planos. Homografías
5.3.1 Cálculo de homografías
5.3.2 Aplicación 1. Rectificación de la perspectiva de una imagen
5.3.3 Aplicación 2: Panorámicas
5.4 Puntos y líneas de fuga
5.4.1 Puntos de fuga
5.4.2 Líineas de fuga
5.4.3 Aplicación. Cálculo de alturas relativas de una escena
5.5 Proyección de cónicas
5.5.1 La cónica absoluta O8 y su proyección ?
5.5.2 Propiedades de ?
5.6 Calibraci´on de una cámara con tres cuadrados
6 Reconstrucción tridimensional a partir de dos vistas
6.1 Geometría epipolar
6.2 La matriz fundamental
6.2.1 Construcción geométrica de F
6.2.2 Construcción algebraica de F
6.2.3 Propiedades de F
6.2.4 Matrices de cámara canónicas
6.2.5 Cáculo de F
6.3 Triangulación
6.4 Reconstrucción de una escena
6.4.1 El Teorema de la reconstrucción proyectiva
6.4.2 Un método de reconstrucción desde 2 vistas
6.4.3 Reconstrucción directa con puntos de control
6.5 Método de reconstrucción estratificado
Apéndices
A Ágebra Lineal
A.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
A.2 Diagonalización
B Soluciones a los Ejercicios
B.1 Transformaciones Homogéneas
B.2 Geometría en espacios proyectivos
C Funciones .m .
C.1 Ángulo entre dos vectores
C.2 Matriz antisimétrica asociada a un vector
C.3 Cuaterniones
C.4 Coordenadas de Plücker
C.5 Cálculo de una homografía
C.6 Triangulación
C.7 Transformación puntos de control
Bibliografía