Sinopsis

Los orígenes de este libro. Este texto nace como resultado de mi experiencia docente en el área de los sistemas dinámicos durante los últimos diez años en la Universidad Politécnica de Madrid (UPM). No obstante, he de volver atrás en el tiempo para identificar su origen. Mi primer acercamiento serio a la teoría de sistemas dinámicos se remonta al año 1995, en que dicté un curso sobre la materia en la Universidad Nacional de Ingeniería de Lima. Dada mi inexperiencia, aquello fue ciertamente una osadía. Fructífera en todo caso para mí y espero que también para mis alumnos de entonces. Para preparar aquel curso recurrí al Prof. Pepe Aranda, quien había sido profesor mío de Ecuaciones Diferenciales en la Facultad de Ciencias Físicas de la Universidad Complutense de Madrid. Él fue quien me dio a conocer las referencias [1,2], consignadas al final de este libro. Una suerte de biblia en dos volúmenes de los sistemas dinámicos en el plano, escrita entre otros por Alexandr Andronov, padre, junto a Pontriagin, de la noción de estabilidad estructural. El presente libro debe mucho al riguroso y exhaustivo clásico de Andronov et al.

Años después de aquel curso en Perú, retomé el estudio de los sistemas dinámicos al empezar a colaborar con mi compañero en el Dpto. de Matemática Aplicada a la Ingeniería Aeroespacial de la UPM, el Prof. Patricio Gómez, en el curso de doctorado Estabilidad y control de sistemas dinámicos, previamente impartido tan solo por él y dedicado en exclusiva al control. Aprovecho este lugar para agradecer, a título póstumo, toda su ayuda, así como su generosidad conmigo al ofrecerme la posibilidad de incorporarme al curso, de cuyo desarrollo en el tiempo ha surgido este texto.

Lo que este libro pretende ser. Este libro persigue ser eminentemente práctico. Y es que los sistemas dinámicos permiten modelizar multitud de fenómenos, ya vengan de las ciencias experimentales, la tecnología, las ciencias sociales o la economía, aunque aquí se hará particular énfasis en ejemplos provenientes de la Física y la Biología. Dado su carácter aplicado, el libro no presenta la estructura clásica “definición-teorema-demostración”, habitual en los textos de matemáticas superiores. A cambio, persiguiendo un interés pedagógico, contiene numerosos ejemplos que ahondan en los conceptos presentados, al estilo por ejemplo de la excelente referencia [3], así como multitud de gráficos, sin los cuales difícilmente se adquiere una idea intuitiva de la materia. No obstante, el libro no prescinde en ningún momento del rigor expositivo, y en no pocas ocasiones incluye demostraciones, o bosquejos de las mismas, particularmente cuando éstas son sencillas e ilustrativas.

Lo que este libro incluye y lo que no. Este texto está dedicado al estudio cualitativo de los sistemas dinámicos autónomos, en el continuo, y a una clasificación completa de sus bifurcaciones en el la recta y el plano. Aunque se introducen ciertas definiciones básicas en dimensión arbitraria, así como algunos ejemplos de sistemas dinámicos en dimensión 3, éstos son necesariamente anecdóticos, ya que en el continuo, a partir de orden n=3, aparece el fenómeno del caos, cuyo estudio excede nuestros propósitos y precisaría de un tratamiento aparte.

Lo que se necesita saber para leer este libro. En el desarrollo del libro se dan por descontados conocimientos básicos de Álgebra Lineal, en particular sobre diagonalización de matrices, necesaria para la clasificación y estudio de puntos críticos. Asimismo, se necesitan conocimientos de Análisis Matemático, concretamente de cálculo en una y varias variables, para comprender conceptos como el de linealización en torno a puntos de equilibrio o el de integral primera, entre otros muchos. Por último, respecto a las Ecuaciones Diferenciales en sí mismas, tan solo se dan por conocidas algunas técnicas de integración de EDOs de orden 1, como es el caso de las ecuaciones de Bernoulli, las homogéneas o las exactas.

A quién va dirigido este libro. Por lo dicho en el apartado anterior, este libro es apropiado para estudiantes de cursos altos de grado, así como de máster, en titulaciones de ciencias e ingeniería.

Estructura del libro. Se han estructurado los contenidos en cuatro capítulos. El capítulo 1 introduce las definiciones básicas de sistema dinámico, órbita, mapa de fases y estabilidad, entre otras, que serán usadas a lo largo del libro. El capítulo 2 está dedicado a los sistemas dinámicos de orden 1. Aparecen ya las nociones de estabilidad estructural y bifurcación. Se introduce la clasificación completa de las bifurcaciones en la recta. El capítulo 3 aborda los sistemas dinámicos en el plano, aunque algunas de las definiciones son para orden arbitrario y se presentan también ejemplos en el espacio. Se exponen conceptos centrales como el de estructura topológica de un sistema dinámico, conjunto límite u órbita singular. Aparecen ya numerosos ejemplos de bifurcaciones. Por último, el capítulo 4 desarrolla la clasificación completa de las bifurcaciones de sistemas dinámicos planos bajo el punto de vista formal del espacio métrico de sistemas dinámicos. Concluye con un ejemplo de bifurcación en el espacio.

Agradecimientos. Desde aquí aprovecho para agradecer su labor docente al ya citado Prof. Aranda, quien gestiona en acceso abierto la web [9], donde se recogen sus apuntes de clase de diferentes asignaturas de matemáticas, así como distintas colecciones de ejercicios resueltos, acompañados de infinidad de gráficas. Un esfuerzo pedagógico de primer nivel, tan infrecuente como valioso, de inestimable ayuda para muchas generaciones de estudiantes, entre las que me incluyo.

Asimismo, expreso mi gratitud hacia mi compañero de departamento, el Prof. Juan de Burgos, de quien he aprendido mucho a través de sus excelentes libros, cuyas sugerencias y sabias correcciones he tenido en cuenta en la preparación de ciertas partes del manuscrito. Agradezco también la ayuda de mi compañero y amigo, el Prof. Luis Sainz de los Terreros, con quien mantengo habitualmente enriquecedoras conversaciones de carácter científico, que sin duda influyen en mi trabajo.

Espero que la lectura de este libro, o cuanto menos su consulta, resulte de interés para quien se acerque a estas páginas. Incluso me atrevo a desear que disfrute con ellas, tal como lo he hecho yo descubriendo los innumerables detalles que encierra la teoría de sistemas dinámicos, así como su innegable belleza y su inagotable potencial para las aplicaciones. Y como cada nuevo hallazgo no es sino un acicate para desear seguir aprendiendo, espero también que ésta sea para el lector la ocasión de iniciar una nueva etapa en la fascinante aventura del descubrimiento.

Antonio Rodríguez Mesas

Madrid, septiembre de 2016.

Índice

1. Introducción a los sistemas dinámicos 5

1.1. Sistemás dinámicos de orden n 5
1.2. Prolongabilidad 7
1.3. Estabilidad 8
1.4. Sistemas autónomos 9
1.5. Noción abstracta de sistema dinámico 16

2. Sistemas dinámicos de orden n=1 19

2.1. Linealización en torno a los puntos de equilibrio 22
2.2. Bifurcaciones 23
2.2.1. Bifurcación silla-nodo (o tangente) 25
2.2.2. Bifurcación transcrítica 28
2.2.3. Bifurcación horca 31
2.2.4. Bifurcaciones globales 42

3. Sistemas dinámicos de orden n⩾2 45

3.1. Linealización en torno a los puntos de equilibrio 45
3.1.1. Sistemas dinámicos en el plano 46
3.1.2. Sistemas dinámicos en el espacio 55
3.1.3. Estabilidad de los puntos críticos.Estructura topológica de un sistema dinámico 56
3.2. Integrales primeras. Sistemas conservativos 62
3.2.1. Sistemas exactos 65
3.2.2. Factores integrantes 69
3.2.3. Sistemas gradientes 77
3.2.4. Sistemas reversibles 80
3.2.5. Ecuaciones de orden 2 84
3.3. Puntos críticos no elementales 102
3.3.1. Un autovalor nulo 102
3.3.2. Dos autovalores nulos 103
3.3.3. Matriz nula 105
3.4. Funciones de Lyapunov 108
3.5. Ciclos límite 113
3.6. Existencia de órbitas cerradas 116
3.7. Conjuntos límite 124
3.8. Teoría del índice 129
3.9. Órbitas singulares 136

4. Bifurcaciones en el plano 137

4.1. Estabilidad estructural de los puntos críticos 139
4.1.1. Puntos críticos no elementales 139
4.1.2. Puntos críticos elementales no hiperbólicos 145
4.2. Estabilidad estructural de los ciclos límite 146
4.3. Estabilidad estructural de las separatrices 155
4.3.1. Lazos silla-silla 156
4.3.2. Lazos silla-nodo 158
4.4. Condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad estructural 163
4.5. Un ejemplo de bifurcaciones en el espacio 164

Bibliografía 173