Sinopsis

Todos habríamos de extrañarnos si, tras decir «voy a lo mío», un
deportista se sentase a ver, en la televisión, a un corredor afamado realizar
unas carreras brillantes y nos dijera que estaba convencido de que
de este modo esperaba llegar a ser un buen corredor, pues estaba prestando
mucha atención a lo que allí pasaba, tomaba apuntes con gran
pericia y memorizaba luego todo lo que veía. Cosas como éstas no ocurren,
pues los que se preparan para el deporte tienen un mínimo de sensatez
y saben que su formación va a depender del tiempo que, debidamente
dirigidos por su entrenador, se dediquen ellos a practicar
deporte.
Y, sin embargo, suele aceptarse como natural el que, para estudiar
matemáticas, la actividad del estudiante se centre, fundamentalmente,
en recibir clases en las que el profesor, como hacía nuestro corredor
afamado de antes, luce sus habilidades y le resuelve los ejercicios y los
problemas que debiera haber resuelto el alumno por su cuenta (con las
pertinentes ayudas de su entrenador/profesor). Parece como si aquí,
contrariamente a lo que pasa con el deporte, el dedicarse a practicar
fuese cosa de escasa importancia.
Un pintor sabe pintar cuando pinta cuadros valiosos; si lo que pinta
son bodrios, es que no logró aprender a pintar, por mucha pintura que
haya estudiado. En el estudiar matemáticas, los alumnos que terminan
resolviendo problemas y enigmas con acierto y talento son los que
aprendieron la asignatura; nadie dude de que, aquellos que sistemáticamente
fracasan en la resolución de problemas, por mucho tiempo que
le hayan dedicado a vérselas con la materia, no saben de ella gran cosa.
Dicho en otros términos: aprender sobre algo (deporte, pintar, matemáticas),
lo que se dice aprender, lo consiguen quienes terminan «sabiendo
hacer» (correr velozmente, pintar cuadros sobresalientes, resolver
problemas intrincados).
Prólogo
Cuando se está estudiando para hacer frente a un examen, de Cálculo
en nuestro caso, no es de extrañar que se sueñe, quien no sueña,
con que le van a preguntar a uno justamente aquello que mejor se sabe:
el tema que dominamos plenamente, que tenemos recién repasado, o
aquel problema que acabamos de solucionar a plena satisfacción, que lo
hemos cotejado con nuestro libro de problemas resueltos. No es menos
engañoso dedicarse a buscarle las vueltas al tribunal, preparándose solamente
lo que, a nuestro parecer, es asunto preferido por los examinadores,
solo aquello que más ha salido en los exámenes de años anteriores.
Parece como si algunos se olvidasen de que, salvo hipotéticas patologías,
en un examen le pueden preguntar a uno sobre cualquier cosa de
las incluidas en el programa.
Otra cosa muy distinta es actuar con la debida sensatez, que no se
trata de estudiar sin criterio, sin ton ni son. A nadie se le escapa que,
en esto del qué y del cómo estudiar, hay que estar al criterio de los
profesores, a lo que ellos estiman que es de mayor interés para el mejor
seguimiento de su asignatura. Así si, según las normas establecidas por
el profesorado, en el examen no se van a formular preguntas “de desarrollo”,
nadie dedicará gran tiempo a profundizar en las cuestiones
de índole teórico. Como es usual, los que examinan hacen públicas las
características, las peculiaridades que van a tener los exámenes; así que
se conoce, por ejemplo, si las cuestiones prácticas se van a reducir a
simples ejercicios o si van a proponerse problemas de cierta enjundia.
Entonces, los alumnos actuarán en consecuencia; obviamente, orientaran
su preparación en la dirección señalada por sus profesores.
Y está aconteciendo que, a medida que pasa el tiempo y se van
consolidando los nuevos planes de estudios, los planes Bolonia, los
grados universitarios, nos estamos encontrando con que la tal consolidación
camina en la dirección de hacer los temarios más sintetizados;
se están excluyendo de ellos no pocos asuntos que antaño eran tenidos
por necesarios. Esta cosa, la del reducir a lo esencial los contenidos,
conduce, como no podía ser de otro modo, a que el profesorado haya ido
variando la configuración de los exámenes que realizan, adaptándolos
a los nuevos tiempos que ahora corren. Ya no se estilan exámenes con
problemas peliagudos o espinosos; los problemas que hoy se proponen
han adelgazado considerablemente y no llegan tan a lo profundo como
antaño, plantean cuestiones a las que se llega dando solo unos pocos
pasos, bastantes menos de los que antes eran necesarios.
Ante este nuevo panorama de la enseñanza universitaria, nosotros,
que solo pretendemos servir de ayuda al estudiante, nos hemos visto
arrastrados a adaptar nuestros problemas a los nuevos tiempos, que no
pretendemos sentar cátedra sobre lo que es mejor o es peor al respecto,
aunque tengamos, como no, nuestro propio criterio, pero este no hace
al caso. Así pues, en este manual de “Exámenes de Cálculo” hemos
incluido problemas de los que hoy se estilan, menos consistentes de
los que ofrecíamos, no hace mucho, en nuestros anteriores manuales de
problemas. La mayor asequibilidad de estos problemas, los que ahora
ofrecemos aquí, no supone que se trate de problemas basura, ni mucho
menos; significa que hay que caminar menos que antes para llegar a
encontrar la solución, pero no se trata de problemas que se resuelven
de una patada.
El empeño que hemos puesto en preparar estos problemas, junto con
nuestra anterior experiencia en esta labor, son, creemos y perdónesenos
nuestra inmodestia, garantía de éxito en la empresa. Así deseamos que
sea.

Madrid, marzo de 2014
Juan de Burgos

Índice

Parte I. Cálculo diferencial de una variable 1
60 problemas útiles

Parte II. Sucesiones y series 123
10 problemas útiles

Parte III. Cálculo diferencial de varias variable 145
32 problemas útiles

Parte IV. Cálculo integral (una y varias variables) 221
50 problemas útiles