Sinopsis

Hoy en día, el mundo editorial, con el inestimable apoyo de la informática, está experimentando cambios tan profundos que permiten un hacer que era impensable hace sólo unos pocos años. Se están flexibilizando tanto las cosas que resultan posibles hasta los libros a la carta, esto es, libros adaptados a las necesidades concretas de cada plan de estudios, de cada carrera, de cada facultad o escuela, de cada determinada asignatura. Aunque aquí hablamos pensando en nuestro caso concreto, el de las Matemáticas, lo que decimos es igualmente válido para otras disciplinas. Llevamos ya un tiempo ocupándonos de confeccionar una especie de gran almacén o colección de textos, de pequeños libros, de modo que hemos llegado a un todo que abarca la inmensa mayoría de las materias que, organizadas de uno u otro modo, figuran en los planes de estudios de los actuales grados universitarios. En algún caso, para que tal cobertura tuviera efectividad, ha habido que duplicar algunas de las materias, con distinta amplitud o profundidad; pero para la mayoría de los temas esto no ha sido necesario. Para cada asignatura concreta, tomamos de nuestro todo los capítulos pertinentes y los orquestamos con buen juicio y, añadiendo aquellos ejercicios y problemas que mejor cuadren, terminamos componiendo un texto pertinente y proporcionado. El que oiga esto por primera vez, quizá llegue a pensar que no es buen hacer el nuestro. La experiencia dice lo contrario; la experiencia dice que, salvo una rara excepción, los textos que así venimos confeccionando, que ya son muchos, resultan del agrado y a satisfacción de cuantos los han venido utilizando, tanto de profesores como de alumnos. Y, como no tenemos abuela, pensamos que, de día en día, aumenta nuestra pericia en esto de componer libros de texto a la carta.En el caso concreto de este manual, «Matemáticas II» para el Grado de Ingeniería Aeronáutica, se da una especial circunstancia: este autor que les habla aquí viene impartiendo docencia de Matemáticas en la ETS de Ingenieros Aeronáuticos de Madrid desde antiguo y ha escrito numerosos textos como apoyo a su tarea. Y ya que han salido a colación los libros de texto que se utilizaban en los planes anteriores, en los anteriores a esta «reforma Bolonia» de ahora, creemos oportuno decir que, para lo de hoy, los textos de lo de ayer no son los más adecuados. Los libros, tanto ayer como hoy, para ser utilizables, serán rigurosos y precisos, serán claros. Pero hoy han de ser, además, especialmente accesibles, particularmente llanos, exageradamente inteligibles. Ha pasado ya la época en los que el profesor tenía holgura para extenderse en aclaraciones o ampliaciones; en estos momentos, el tiempo está tasado y la disposición del ánimo es menguada. Lo que acabamos de señalar ha sido determinante para nosotros, a ello hemos estado mirando constantemente mientras confeccionábamos estas «Matemáticas II».
Índice

Parte I. CÁLCULO VECTORIAL
Capítulo 1. LOS ESPACIOS p y Ep 1.1. Los espacios euclídeos p (vectorial y Ep (afín) 1.2. Distancia y entornos 1.3. Convergencia en p (o en Ep) 1.4. Abiertos y cerrados 1.5. Conjuntos conexos Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 2. CONTINUIDAD DE FUNCIONES (VARIAS VARIABLES) 2.1. Límite de una función en un punto 2.2. Propiedades de los límites 2.3. Funciones continuas 2.4. Propiedaes globales de la continuidad 2.5. Continuidad uniforme Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 3. DERIVADAS: DIFERENCIACIÓN 3.1. Derivadas (según vectores y parciales) 3.2. Diferencial de una función 3.3. Derivadas y diferenciales de orden superior 3.4. Derivadas y diferenciales de las funciones compuestas Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 4. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 4.1. Funciones implícita e inversa 4.2. Extremos relativos 4.3. Extremos relativos condicionados Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 5. OPERADORES DIFERENCIALES 5.1. Recordatorios sobre los productos vectorial y mixto 5.2. Gradiente 5.3. Divergencia 5.4. Rotacional 5.5. Laplaciano Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 6. INTEGRALES MÚLTIPLES Y PARAMÉTRICAS 6.1. Integración en intervalos 6.2. Integración en conjuntos acotados 6.3. Métodos de integración 6.4. Integrales paramétricas 6.5. Integrales paramétricas impropias Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 7. INTEGRALES CURVILÍNEAS Y DE SUPERFICIE 7.1. Algo sobre las curvas 7.2. Integrales curvilíneas 7.3. Campos irrotacionales; función potencial 7.4. Independencia del camino 7.5. Teorema de Green (o de la divergencia en dimensión 2) 7.6. Algo sobre las superficies 7.7. Integrales de superficie 7.8. Los teoremas de Gauss y de Stokes Ejercicios y Cuestiones
Parte II. GEOMETRÍA DIFERENCIAL
Capítulo 1. CURVAS PLANAS 1.1. Curvas continuas; ecuaciones 1.2. Curvas de clase Cr (con r ≥ 1) 1.3. Tangente a una curva; posiciones relativas 1.4. Longitud de arco; aplicaciones 1.5. Curvatura 1.6. Puntos singulares y asíntotas 1.7. Envolvente de una familia de curvas Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 2. CURVAS EN EL ESPACIO 2.1. Curvas: Concepto; Regularidad 2.2. Tangente. Longitud de arco. Contactos 2.3. Puntos singulares y asíntotas 2.4. Triedro de Frenet 2.5. Fórmulas de Frenet. Curvatura y torsión 2.6. Hélices Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 3. SUPERFICIES 3.1. Superficies regulares 3.2. Algunos tipos particulares de superficies 3.3. Plano tangente. Normal 3.4. Superficies regladas 3.5. Primera forma fundamental; longitudes, ángulos, áreas 3.6. Curvaturas en una superficie Ejercicios y Cuestiones
Parte III. ECUACIONES DIFERENCIALES
Capítulo 1. CONCEPTOS GENERALES 1.1. Ecuaciones diferenciales 1.2. Interpretación geométrica de una EDO de primer orden 1.3. Sistema de ecuaciones diferenciales Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 2.1. Ecuación diferencial ordinaria de primer orden 2.2. Ecuación diferencial ordinaria de orden n Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 3. PROBLEMA DE CAUCHY. TEORÍA CUALITATIVA 3.1. Problema de Cauchy 3.2. Existencia, unicidad y prolongabilidad de la solución 3.3. Ecuaciones no resueltas en la derivada 3.4. Dependencia de parámetros y condiciones iniciales 3.5. Estabilidad de la solución 3.6. Ecuación autónoma de primer orden Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 4. SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DIFERENCIALES 4.1. Sistema lineal de ecuaciones diferenciales 4.2. Sistema lineal homogéneo 4.3. Sistema lineal completo 4.4. Cálculo de la matriz fundamental 4.5. Ecuación lineal de orden n 4.6. Estabilidad de un sistema lineal Ejercicios y Cuestiones