Sinopsis

Durante las últimas décadas se ha producido un vertiginoso desarrollo de los dispositivos electrónicos de cálculo, ordenadores y calculadoras, lo que se ha traducido, entre otras cosas, en un incremento sustancial de la presencia del Cálculo Numérico en las actividades relacionadas
con la Ciencia y la Ingeniería, tanto en su vertiente docente e investigadora, como en la actividad profesional e industrial.
Para que esta presencia siga siendo fructífera debería evitarse reducir los métodos numéricos a un conjunto de cajas negras cuyo contenido y leyes de funcionamiento se ignoran. Más bien al contrario, la extensiva utilización del Cálculo Numérico hace imprescindible dotar a los actuales
estudiantes universitarios, y futuros profesionales, de un conocimiento sólido y riguroso de los fundamentos del Cálculo Numérico, que justificará su éxito, pero que también mostrará sus puntos débiles, aquellas circunstancias en que deberá utilizarse con precaución y cautela.
Esta exigencia parece entrar en contradicción con la actual reforma de los planes de estudio universitarios, que tienden a reducir, de forma prácticamente generalizada, el número de créditos asignados a las materias básicas, lo que, debido al inevitable proceso de ajuste al menor tiempo disponible, puede conducir a una reducción en el rigor con que se presentan.
Se propone también un cambio en el modelo de la enseñanza universitaria, que, entre otras cosas, implica una mayor responsabilidad del estudiante en el proceso de su aprendizaje. Esto lleva a una disminución de las horas presenciales en el aula, para poder aumentar, al menos en teoría, el tiempo que el estudiante dedica al estudio y trabajo personal.
En el diseño de esta obra se ha intentado lograr un equilibrio entre los tres aspectos anteriores: a) presentar el contenido esencial de cada método con rigor, para hacer patente que los métodos numéricos están bien fundamentados, pero evitando, en lo posible, el tecnicismo matemático; b) reducir el número de métodos pero asegurando que el estudiante dispondrá de herramientas suficientes, y c) proporcionar numerosos ejemplos y ejercicios que permitan el estudio personal.
La exposición de los distintos métodos se realiza de forma concisa, reduciendo las consideraciones teóricas y utilizando inmediatamente ejemplos para ilustrar los conceptos. Las demostraciones de los teoremas y propiedades que se consideran menos ilustrativos, o más técnicos, se proponen como últimos ejercicios, a realizar por el estudiante cuando éste ha
manipulado suficientemente cada método.
Respecto de los ejercicios propuestos hemos limitado su número con el fin de que el estudiante no sienta que tiene ante sí una tarea ingente.
Entendemos, no obstante, que el número es suficiente para adquirir, por una parte, la necesaria soltura en el manejo de los métodos y, por otra, la capacidad de profundizar en los mismos y adaptarlos a situaciones nuevas.
No se plantean ejercicios repetitivos, en los que hay que volver a hacer esencialmente lo mismo que se hizo en el ejercicio anterior. Hemos procurado ordenarlos cuidadosamente en grado de dificultad y complejidad creciente y proponer ejercicios que se amplíen a sí mismos, de manera que cada ejercicio aporte un nuevo elemento, un nuevo matiz al conocimiento alcanzado con los anteriores.
El tercer volumen está dedicado a los métodos numéricos para el cálculo de integrales y la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. También se dedica un breve capítulo a la derivación numérica, para su posterior aplicación en los métodos de diferencias finitas. Continuando con el planteamiento general de la obra de no abrumar al estudiante, se propone un
número reducido de métodos.
El primer capítulo está dedicado a las fórmulas de cuadratura: Trapecio y Simpson y métodos de Romberg y de Gauss-Legendre. Entendemos que con la capacidad de cálculo disponible actualmente las primeras proporcionan suficiente exactitud en la mayoría de las aplicaciones y deberían ser, debido a su sencillez, la herramienta más habitual. En los ejercicios se muestra cómo duplicando sucesivamente el número de subintervalos al aplicar las fórmulas del Trapecio o de Simpson se pueden evaluar integrales con una exactitud prefijada. La generalización de la idea de extrapolación conduce al método de Romberg. La integración de Gauss Legendre muestra cómo con un número reducido de nodos, pero elegidos adecuadamente, pueden obtenerse resultados de gran exactitud.
En lo que se refiere a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias se tratan en primer lugar los problemas de condiciones iniciales, o problema de Cauchy, de primer orden mediante los métodos explícitos elementales, para concluir con el método de Runge-Kutta de orden 4.
Algunos de los métodos explícitos se presentan en su forma implícita, resaltando las ventajas pero también las dificultades de cálculo que aparecen si la función es no lineal. Entre los métodos multipaso se considera solamente el de Adams-Bashforth-Moulton, ya que es muy utilizado. A continuación se emplean los métodos anteriores para la resolución de sistemas de ecuaciones
de primer orden y se aborda la resolución de problemas de orden superior mediante su transformación en un sistema de primer orden.
Para la resolución de los problemas de contorno se introduce el método del Disparo, mostrando de nuevo cómo los problemas lineales se resuelven de manera relativamente sencilla, mientras que los no lineales presentan dificultades adicionales de cálculo. En el método de diferencias finitas se muestra cómo reducir el problema de contorno a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales o no lineales y cómo tratar los distintos tipos de condiciones de contorno. Finalmente se hace una pequeña introducción a los métodos de residuos ponderados.
Aunque la mayoría de los ejercicios propuestos en los volúmenes anteriores pueden resolverse con una calculadora, sería un poco engañoso hacer la misma afirmación respecto de los problemas que se incluyen en este volumen ya que su coste computacional es mucho mayor. Por ello es aconsejable utilizar una calculadora programable, una hoja de cálculo o un lenguaje de programación como Fortran o C. Si bien esta última opción nos parece la más adecuada, requiere conocer y tener cierto dominio del lenguaje que se vaya a utilizar. Para quienes no dispongan de este conocimiento previo, puede ser preferible la utilización de una hoja de cálculo, ya que
aprender a realizar los cálculos necesarios no requiere un gran esfuerzo.
Índice
Capítulo 0. ELEMENTOS DISTINTIVOS DEL CÁLCULO NUMÉRICO 1
0.1. El cálculo numérico. Errores
0.2. Representación de números. Error de redondeo
0.3. Aritmética de punto flotante
0.4. Algoritmos
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 1. INTEGRACIÓN. FÓRMULAS DE CUADRATURA
1.1. Introducción
1.2. Grado de exactitud
1.3. Obtención de reglas de cuadratura de Newton-Cotes
1.4. Fórmula del Trapecio, n = 1
1.5. Fórmula de Simpson, n = 2
1.6. Error de las fórmulas del Trapecio y Simpson
1.7. Estimación de errores
1.8. Resumen de fórmulas cerradas de Newton-Cotes
1.9. Integración de Romberg
1.10. Integración Gaussiana
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 2. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
2.1. Fórmulas para la derivada primera
2.2. Fórmulas para la derivada segunda
2.3. Resumen de fórmulas de derivación numérica con nodos equiespaciados
2.4. Fórmulas de derivación con nodos no equiespaciados
2.5. Extrapolación de Richardson
2.6. Errores de redondeo
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. PROBLEMAS DE CONDICIONES INICIALES
3.1. Introducción
3.2. Definiciones
3.3. Problemas de condiciones iniciales de primer orden
3.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
3.5. Problemas de orden superior
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 4. ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS. PROBLEMAS DE CONTORNO
4.1. Método del Disparo («Shooting»)
4.2. Método de diferencias finitas
4.3. Método de los residuos ponderados
Ejercicios y Cuestiones