Sinopsis

Durante las últimas décadas se ha producido un vertiginoso desarrollo de los dispositivos electrónicos de cálculo, ordenadores y calculadoras, lo que se ha traducido, entre otras cosas, en un incremento sustancial de la presencia del Análisis Numérico en las actividades relacionadas con la Ciencia y la Ingeniería, tanto en su vertiente docente e investigadora, como en la actividad profesional e industrial. Para que esta presencia siga siendo fructífera debería evitarse reducir los métodos numéricos a un conjunto de cajas negras cuyo contenido y leyes de funcionamiento se ignoran. Más bien al contrario, la extensiva utilización del Análisis Numérico hace imprescindible dotara los actuales estudiantes universitarios, y futuros profesionales, de un conocimiento sólido y riguroso de los fundamentos del Análisis Numérico, que justificará su éxito, pero que también mostrará sus puntos débiles, aquellas circunstancias en que deberán utilizarse con precaución y cautela. Esta exigencia parece entrar en contradicción con la actual reforma de los planes de estudio universitarios, que tienden a reducir, de forma prácticamente generalizada, el número de créditos asignados a las materias básicas, lo que, debido al inevitable proceso de ajuste al menor tiempo disponible, puede conducir a una reducción en el rigor con que se presentan. Se propone también un cambio en el modelo de la enseñanza universitaria, que, entre otras cosas, implica una mayor responsabilidad del estudiante en el proceso de su aprendizaje. Esto lleva a una disminución de las horas presenciales en el aula, para poder aumentar, al menos en teoría, el tiempo que el estudiante dedica al estudio y trabajo personal. En el diseño de esta obra se ha intentado lograr un equilibrio entre los tres aspectos anteriores: a) presentar el contenido esencial de cada método con rigor, para hacer patente que los métodos numéricos están bien fundamentados, pero evitando, en lo posible, el tecnicismo mate-mático; b)reducir el número de métodos pero asegurando que el estudiante dispondrá de herramientas suficientes, y c)proporcionar numerosos ejemplos y ejercicios que permitan el estudio personal. La exposición de los distintos métodos se realiza de forma concisa, reduciendo las consideraciones teóricas y utilizando inmediatamente ejemplos para ilustrar los conceptos. Las demostraciones de los teoremas y propiedades que se consideran menos ilustrativos, o más técnicos, se proponen como últimos ejercicios, a realizar por el estudiante cuando éste ha manipulado suficientemente cada método. Respecto de los ejercicios propuestos hemos limitado su número con el fin de que el estudiante no sienta que tiene ante sí una tarea ingente. Entendemos, no obstante, que el número es suficiente para adquirir, por una parte, la necesaria soltura en el manejo de los métodos y, por otra, la capacidad de profundizar en los mismos y adaptarlos a situaciones nuevas. No se plantean ejercicios repetitivos, en los que hay que volver a hacer esencialmente lo mismo que se hizo en el ejercicio anterior. Hemos procurado ordenarlos cuidadosamente en grado de dificultad y complejidad creciente y proponer ejercicios que se amplíen a sí mismos, de manera que cada ejercicio aporte un nuevo elemento, un nuevo matiz al conocimiento alcanzado con los anteriores.
Índice
Capítulo 0.ELEMENTOS DISTINTIVOS DEL CÁLCULO NUMÉRICO
0.1. El cálculo numérico. Errores
0.2. Representación de números. Error de redondeo
0.3. Aritmética de punto flotante
0.4. Algoritmos
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 1.INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE LAGRANGE3
1.1. Definiciones
1.2. Método de los coeficientes indeterminados
1.3. Teorema. Existencia y unicidad del polinomiointerpolante
1.4. Forma de Lagrange
1.5. Forma de Newton
1.6. Multiplicación anidada (método de Horner)
1.7. Diferencias divididas
1.8. Tabla de diferencias divididas
1.9. Error de interpolación
1.10. Error de interpolación y diferencias divididas
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 2. INTERPOLACIÓN POLINÓMICADE HERMITE
2.1.Definición
2.2.Existencia y unicidad del polinomio de Hermite
2.3.Forma de Lagrange del polinomio de Hermite
2.4.Error del polinomio interpolante de Hermite
2.5.Forma de Newton. Tabla de diferencias divididas con nodos duplicados
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 3. INTERPOLACIÓN POLINÓMICAA TROZOS
3.1.Introducción
3.2.Interpolación lineal a trozos
3.3.Interpolación cuadrática a trozos
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 4. INTERPOLACIÓN MEDIANTE SPLINESCÚBICOS
4.1.Definición
4.2.Cálculo del spline cúbico
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo5.APROXIMACIÓN POR MÍNIMOSCUADRADOS
5.1.Introducción
5.2.Recta de mínimos cuadrados
5.3.Parábola de mínimos cuadrados. Modelos lineales
5.4.Modelos no lineales
5.5.Aproximación continua por mínimos cuadrados
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo 6.ECUACIONES NO LINEALES
6.1.Método de la Bisección
6.2.Método de la Régula Falsi
6.3.Método de Newton
6.4.Método de la Secante
6.5.Raíces múltiples
6.6.Raíces de funciones polinómicas
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo7.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7.1.Definiciones
7.2.Método de factorización LU
7.3.Método de factorización LUcon pivotado
7.4.Aplicaciones
7.5.Sistemas tridiagonales
7.6.Método de Cholesky
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo8.SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
8.1.Método de Newton
8.2.Método de Newton simplificado
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo9.INTEGRACIÓN NUMÉRICA.FÓRMULAS DE CUADRATURA
9.1.Introducción
9.2.Grado de exactitud
9.3.Obtención de reglas de cuadratura de Newton-Cotes
9.4.Fórmula del Trapecio,n= 1
9.5.Fórmula de Simpson,n= 2
9.6.Error de las fórmulas del Trapecio y Simpson
9.7.Estimación de errores
9.8.Resumen de fórmulas cerradas de Newton-Cotes
9.9.Integración de Romberg
9.10.Integración Gaussiana
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo10.DERIVACIÓN NUMÉRICA
10.1.Fórmulas para la derivada primera
10.2.Fórmulas para la derivada segunda
10.3.Resumen de fórmulas de derivación numérica con nodos equiespaciados
10.4.Fórmulas de derivación con nodos no equiespaciados
10.5.Extrapolación de Richardson
10.6.Errores de redondeo
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo11.ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS. PROBLEMAS DE CONDICIONES INICIALES
11.1.Introducción
11.2.Definiciones
11.3.Problemas de condiciones iniciales de primer orden
11.4.Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
11.5.Problemas de orden superior
Ejercicios y Cuestiones
Capítulo12.ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS. PROBLEMAS DE CONTORNO
12.1.Método del Disparo («Shooting»)
12.2.Método de diferencias finitas
12.3.Método de los residuos ponderados
Ejercicios y Cuestiones