Sinopsis

Durante las últimas décadas se ha producido un vertiginoso desarrollo
de los dispositivos electrónicos de cálculo, ordenadores y calculadoras,
lo que se ha traducido, entre otras cosas, en un incremento
sustancial de la presencia del Cálculo Numérico en las actividades relacionadas
con la Ciencia y la Ingeniería, tanto en su vertiente docente e
investigadora, como en la actividad profesional e industrial.
Para que esta presencia siga siendo fructífera debería evitarse reducir
los métodos numéricos a un conjunto de cajas negras cuyo contenido
y leyes de funcionamiento se ignoran. Más bien al contrario, la
extensiva utilización del Cálculo Numérico hace imprescindible dotar a
los actuales estudiantes universitarios, y futuros profesionales, de un
conocimiento sólido y riguroso de los fundamentos del Cálculo Numérico,
que justificará su éxito, pero que también mostrará sus puntos
débiles, aquellas circunstancias en que deberán utilizarse con precaución
y cautela.
Esta exigencia parece entrar en contradicción con la actual reforma
de los planes de estudio universitarios, que tienden a reducir, de forma
prácticamente generalizada, el número de créditos asignados a las
materias básicas, lo que, debido al inevitable proceso de ajuste al
menor tiempo disponible, puede conducir a una reducción en el rigor
con que se presentan.
Se propone también un cambio en el modelo de la enseñanza universitaria,
que, entre otras cosas, implica una mayor responsabilidad
del estudiante en el proceso de su aprendizaje. Esto lleva a una disminución
de las horas presenciales en el aula, para poder aumentar, al
menos en teoría, el tiempo que el estudiante dedica al estudio y trabajo
personal
En el diseño de esta obra se ha intentado lograr un equilibrio entre
los tres aspectos anteriores: a) presentar el contenido esencial de cada
método con rigor, para hacer patente que los métodos numéricos están
bien fundamentados, pero evitando, en lo posible, el tecnicismo matemático;
b) reducir el número de métodos pero asegurando que el estudiante
dispondrá de herramientas suficientes, y c) proporcionar numerosos
ejemplos y ejercicios que permitan el estudio personal.
La exposición de los distintos métodos se realiza de forma concisa,
reduciendo las consideraciones teóricas y utilizando inmediatamente
ejemplos para ilustrar los conceptos. Las demostraciones de los teoremas
y propiedades que se consideran menos ilustrativos, o más técnicos,
se proponen como últimos ejercicios, a realizar por el estudiante
cuando éste ha manipulado suficientemente cada método.
Respecto de los ejercicios propuestos hemos limitado su número
con el fin de que el estudiante no sienta que tiene ante sí una tarea
ingente. Entendemos, no obstante, que el número es suficiente para
adquirir, por una parte, la necesaria soltura en el manejo de los métodos
y, por otra, la capacidad de profundizar en los mismos y adaptarlos
a situaciones nuevas. No se plantean ejercicios repetitivos, en los que
hay que volver a hacer esencialmente lo mismo que se hizo en el ejercicio
anterior. Hemos procurado ordenarlos cuidadosamente en grado de
dificultad y complejidad creciente y proponer ejercicios que se amplíen
a sí mismos, de manera que cada ejercicio aporte un nuevo elemento,
un nuevo matiz al conocimiento alcanzado con los anteriores.
Aunque este primer volumen está dedicado a las cuestiones básicas
relacionadas con la interpolación y aproximación polinómicas, hemos
incluido un Capítulo 0 en el que señalamos cuáles son las peculiaridades
del Cálculo Numérico y que, evidentemente, es de aplicación a
cualquier área del mismo.
Con el fin de que el estudiante pueda dedicar toda su atención al
estudio y práctica de los métodos, la resolución de los ejercicios propuestos
puede realizarse con una simple calculadora, en alguna ocasión
incluso sin su ayuda. Por tanto, no es necesario utilizar un lenguaje de
programación, ni disponer de un paquete de software comercial (su uso
prematuro tiene el riesgo de convertir el Cálculo Numérico en simples
recetas de cocina). No puede negarse, sin embargo, que la utilización
de una calculadora programable o de una hoja de cálculo aliviará el trabajo
necesario para realizar los cálculos más tediosos, especialmente
en el último capítulo dedicado a la Aproximación por Mínimos Cuadrados.


Tabla de Contenidos


Capítulo 0. ELEMENTOS DISTINTIVOS
DEL CÁLCULO NUMÉRICO 1

0.1. El cálculo numérico. Errores 1

0.2. Representación de números. Error de redondeo 3

0.3. Aritmética de punto flotante 7

0.4. Algoritmos 16

Ejercicios y Cuestiones 19


Capítulo 1. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
DE LAGRANGE 35

1.1. Definiciones 35

1.2. Método de los coeficientes indeterminados 36

1.3. Teorema. Existencia y unicidad del polinomio
interpolante 37

1.4. Forma de Lagrange 38

1.5. Forma de Newton 41

1.6. Multiplicación anidada (método de Horner) 46

1.7. Diferencias divididas 47

1.8. Tabla de diferencias divididas 49

1.9. Error de interpolación 53

1.10. Error de interpolación y diferencias divididas 60

Ejercicios y Cuestiones 65


Capítulo 2. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
DE HERMITE 105

2.1. Definición 105

2.2. Existencia y unicidad del polinomio de Hermite 106

2.3. Forma de Lagrange del polinomio de Hermite 107

2.4. Error del polinomio interpolante de Hermite 108

2.5. Forma de Newton. Tabla de diferencias
divididas con nodos duplicados 110

Ejercicios y Cuestiones 115


Capítulo 3. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
A TROZOS 129

3.1. Introducción 129

3.2. Interpolación lineal a trozos 130

3.3. Interpolación cuadrática a trozos 134

Ejercicios y Cuestiones 137


Capítulo 4. INTERPOLACIÓN MEDIANTE SPLINES
CÚBICOS 143

4.1. Definición 143

4.2. Cálculo del spline cúbico 146

Ejercicios y Cuestiones 153


Capítulo 5. APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS
CUADRADOS 173

5.1. Introducción 173

5.2. Recta de mínimos cuadrados 175

5.3. Parábola de mínimos cuadrados. Modelos lineales 178

5.4. Modelos no lineales 185

5.5. Aproximación continua por mínimos cuadrados 187

Ejercicios y Cuestiones 193